Два нуля

,, … мы любим все – и жар холодных чисел..,, А. Блок.

Иногда с использованием закона умножения нам приходится вычислять произведения натуральных чисел по порядку, начиная с 1. Например 1•2•3…•6•7 и т.д. , а чтобы короче записать выражения такого вида , в математике используется знак «!» .

Произведения всех натуральных чисел от 1 до n включительно записывается в виде маленькой , но очень красивой формулы «n!» (читается как ,,эн      факториал,,)

n!=1•2•3…(n-2)•(n-1)•n.

Например: 5!=1•2•3•4•5=120.

Существует много различных задач с использованием этой изящной формулы, вот например: сколькими различными способами можно составить список учеников, если в нем должно быть 14 человек?

Очевидно, что способов будет 1•2•3….•13•14=14!

Понятно, получится довольно огромное число , но узнать хотя бы сколькими нулями оно будет заканчиваться , очень просто.  Если десятичная запись числа Р=14! оканчивается  ,, а,, – нулями, то число Р можно представить в виде Р=m•10ª, где m не делится на 10, это значит, что разложение числа m на простые множители не        содержит одновременно 2 и  5.

Итак, чтобы ответить на поставленный вопрос, определим с каким показателем в произведение 1•2•3….•13•14 входят числа 2 и 5.

Если число ,,а,,- наименьший из найденных показателей, то число будет оканчиваться ,,а,,-нулями.

Определим, наконец, сколько чисел среди натуральных от 1 до 14 делится на 2 ,очевидно, их будет 14:2=7.   Затем определим какое количество чисел делится на 4;

делится на 8 и т. д.

Из них на 4 делится: 14:4=3,5;

на 8 делится – 14:8=1,75,

на 16 делится- 14:16=0,875 …

Найдём сумму полученных количеств, причём возьмём только целую часть десятичной дроби: 7+3+1+0=11- эта сумма равна показателю степени с которым число 2 входит в 14! По аналогии определим  сколько чисел среди натуральных от 1 до 14 делится на 5 , делится на 25..

14:5=2,8

14:25=0,56.

В результате число 5 входит в число 14! с показателем 2+0=2.

Из полученных результатов следует, что 14!=m•2¹¹•5², где число m не делится ни на 2 , ни на 5.

Поэтому число 14! содержит множитель 10², а значит и оканчивается на два нуля!!!

Сколькими нулями оканчивается число 32! ? (за верный ответ приз)

Удачи!

Автор публикации

не в сети 1 неделя

Наталья Мальцева5 728

Новичок

Комментарии: 706Публикации: 59Регистрация: 27-01-2021

1

1

4

1

1